Question

18．已知P是中心為O的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AP⊥BP，OP=$\sqrt{2}$，PA=6，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是10或2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 如圖1，過(guò)O作OH⊥AP于H，根據(jù)已知條件推出A，B，O，P四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠BPO=∠BAO=45°，求得∠OPH=45°，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{2}$AO=10；如圖2，過(guò)O作OH⊥BP于H，根據(jù)已知條件推出A，B，P，O四點(diǎn)共圓，得到∠OPH=∠BAO=45°列方程組得到AB=2$\sqrt{13}$，
于是得到結(jié)論．

解答 解：如圖1，過(guò)O作OH⊥AP于H，
∵四邊形ABCD是正方形，AP⊥BP，
∴∠AOB=∠APB=90°，
∴A，B，O，P四點(diǎn)共圓，
∴∠BPO=∠BAO=45°，
∴∠OPH=45°，
∴PH=OH=1，
∴AH=7，
∴AO=$\sqrt{A{H}^{2}+O{H}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$AO=10；
如圖2，過(guò)O作OH⊥BP于H，
∵四邊形ABCD是正方形，AP⊥BP，
∴∠AOB=∠APB=90°，
∴A，B，P，O四點(diǎn)共圓，
∴∠OPH=∠BAO=45°，
∴PH=OH=1，
設(shè)BP=m，AB=x，
∴（m+1）²+1=（$\frac{x}{\sqrt{2}}$）²，m²+6²=x²，
解得：m=4，x=$\sqrt{52}$=2$\sqrt{13}$，
∴AB=2$\sqrt{13}$，
綜上所述：正方形ABCD的邊長(zhǎng)是10或2$\sqrt{13}$，
故答案為：10或2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．