Question

6．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠A交BC于E，CD⊥AB于D，交AE于F，F(xiàn)M∥AB交BC于M，求證（1）$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$；（2）$\frac{EB}{MB}=\frac{AE}{AF}$；（3）CE=BM．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠ACF=∠B，根據(jù)角平分線的定義得到∠CAF=∠BAE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{EM}{MB}=\frac{EF}{AF}$，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形角平分線定理得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CE}$等量代換得到$\frac{BE}{CE}=\frac{EB}{MB}$，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，
∴∠ACF=∠B，
∵AE平分∠A交BC于E，
∴∠CAF=∠BAE，
∴△ACF∽△ABE，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$；
（2）∵FM∥AB，
∴$\frac{EM}{MB}=\frac{EF}{AF}$，
∴$\frac{EB}{MB}=\frac{AE}{AF}$；
（3）∵AE平分∠A交BC于E，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CE}$
∵$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}，\frac{EB}{MB}=\frac{AE}{AF}$，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{EB}{MB}$，
∴CE=BM．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．