Question

14．閱讀下面資料：
問題情境：
（1）如圖1，等邊△ABC，∠CAB和∠CBA的平分線交于點O，將頂角為120°的等腰三角形紙片（紙片足夠大）的頂點與點O重合，已知OA=2，則圖中重疊部分△OAB的面積是$\sqrt{3}$．
探究：
（2）在（1）的條件下，將紙片繞O點旋轉至如圖2所示位置，紙片兩邊分別與AB，AC交于點E，F(xiàn)，求圖2中重疊部分的面積．
（3）如圖3，若∠ABC=α（0°＜α＜90°），點O在∠ABC的角平分線上，且BO=2，以O為頂點的等腰三角形紙片（紙片足夠大）與∠ABC的兩邊AB，AC分別交于點E、F，∠EOF=180°-α，直接寫出重疊部分的面積．（用含α的式子表示

Answer 1

分析 （1）由點O是等邊三角形ABC的內(nèi)心可以得到∠OAB=∠OBA=30°，結合條件OA=2即可求出重疊部分的面積．
（2）由旋轉可得∠FOE=∠BOA，從而得到∠EOA=∠FOB，進而可以證到△EOA≌△FOB，因而重疊部分面積不變．
（3）在射線BC上取一點G，使得OG=OB，過點O作OH⊥AF，垂足為H，方法同（2），可以證到重疊部分的面積等于△OBG的面積，只需求出△OBG的面積就可解決問題．

解答 解：（1）過點O作ON⊥AB，垂足為N，如圖1，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°，
∵點O為△ABC的內(nèi)心
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA．
∴∠OAB=∠OBA=30°．
∴OB=OA=2．
∵ON⊥AB，
∴AN=NB，PN=1．
∴AN=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AN=2$\sqrt{3}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB•PN=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．
（2）圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等．
證明：連接AO、BO，如圖2，

由旋轉可得：∠EOF=∠AOB，則∠EOA=∠FOB．
在△EOA和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FBO=30°}\\{OA=OB}\\{∠EOA=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△FOB．
∴S_{四邊形AEOF}=S_△OAB．
∴圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等．
（3）在射線BC上取一點G，使得OG=OB，過點O作OH⊥BF，垂足為H，如圖3，
則有BH=GH=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠ABC=α，BO為∠CAB的角平分線，
∴∠OBE=∠OBF=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{α}{2}$．
∵OB=OG，
∴∠OGB=∠OBG=$\frac{α}{2}$．
∴∠BOG=180°-α．
∵∠EOH=180°-α，
∴∠BOG=∠EOH．
同理可得：S_{四邊形BEOF}=S_△OBG．
∵OB=2，
∴OH=2sin$\frac{α}{2}$，BH=2cos$\frac{α}{2}$．
∴BG=2BH=4cos$\frac{α}{2}$．
∴S_△OBG=$\frac{1}{2}$BG•OH=4sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$．
∴重疊部分的面積為：S_面積=4sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$．

點評 此題考查幾何變換問題，考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、三角函數(shù)的定義、全等三角形的判定與性質、三角形的內(nèi)心、三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理等知識，有一定的綜合性．另外，在解決問題的過程中，常�？梢越梃b已證的結論和已有的解題經(jīng)驗來解決新的問題．