Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c（b、c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限．
（1）如圖，若拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求拋物線的解析式．
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上并沿AC方向滑動(dòng)距離為$\sqrt{2}$時(shí)，試證明：平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點(diǎn)．
（3）在（2）的情況下，若沿AC方向任意滑動(dòng)時(shí)，設(shè)拋物線與直線AC的另一交點(diǎn)為Q，取BC的中點(diǎn)N，試探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如答題圖2，設(shè)頂點(diǎn)P在直線AC上并沿AC方向滑動(dòng)距離$\sqrt{2}$時(shí)，到達(dá)P′，作P′M∥y軸，PM∥x軸，交于M點(diǎn)，根據(jù)直線AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形，進(jìn)而求得拋物線向上平移1個(gè)單位，向右平移1個(gè)單位，從而求得平移后的解析式，進(jìn)而求得與x軸的交點(diǎn)，與直線AC的交點(diǎn)，即可證得結(jié)論；
（3）如答圖3所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，由分析可知，當(dāng)B′、Q、F（AB中點(diǎn)）三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，最小值為線段B′F的長度．

解答 解：（1）∵等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3）
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，-1）．
∵拋物線過A（0，-1），B（4，-1）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{-\frac{1}{2}×16+4b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得：b=2，c=-1，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1．
（2）如答題圖2，設(shè)頂點(diǎn)P在直線AC上并沿AC方向滑動(dòng)距離$\sqrt{2}$時(shí)，到達(dá)P′，作P′M∥y軸，PM∥x軸，交于M點(diǎn)，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），
∴直線AC的解析式為y=x-1，
∵直線的斜率為1，
∴△P′PM是等腰直角三角形，
∵PP′=$\sqrt{2}$，
∴P′M=PM=1，
∴拋物線向上平移1個(gè)單位，向右平移1個(gè)單位，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+1，
∴平移后的拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+2，
令y=0，則0=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+2，
解得x₁=1，x₂=5，
∴平移后的拋物線與x軸的交點(diǎn)為（1，0），（5，0），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}（x-3）^{2}+2}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$
∴平移后的拋物線與AC的交點(diǎn)為（1，0），
∴平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點(diǎn)（1，0）．
（3）如答圖3，取點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，3），BQ=B′Q，取AB中點(diǎn)F，
連接QF，F(xiàn)N，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四邊形PQFN為平行四邊形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，最小值為2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)中考?jí)狠S題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、幾何變換（平移，對(duì)稱）、等腰直角三角形、平行四邊形、軸對(duì)稱-最短路線問題等知識(shí)點(diǎn)，考查了存在型問題和分類討論的數(shù)學(xué)思想，試題難度較大．