Question

4．我們知道平行四邊形有很多性質(zhì)．現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折．會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論，如圖，已知平行四邊形ABCD中，∠B=30°，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連接B′D．
【發(fā)現(xiàn)與證明】：如圖1：求證：①△AGC是等腰三角形；②B′D∥AC
【應(yīng)用與解答】：如圖2：如果AB=2$\sqrt{3}$，BC=1，AB′與CD相交于點(diǎn)E，求△AEC的面積
【拓展與探索】：如果AB=2$\sqrt{3}$，當(dāng)BC的長(zhǎng)為多少時(shí)，△AB′D是直角三角形？

Answer 1

分析 [發(fā)現(xiàn)與證明]：①由平行四邊形的性質(zhì)得出∠GAC=∠ACB，由翻折的性質(zhì)得出∠ACB=∠ACB′，證出∠GAC=∠ACB′，得出AG=CG；
②得出DG=B′G，證出∠CB′D=∠B′DA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B′GD），由∠AGC=∠B′GD，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；
【應(yīng)用與解答】：作CF⊥AB′于F，通過解直角三角形求得CF=$\frac{1}{2}$，B′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，進(jìn)而求得AF=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，設(shè)AE=CE=x，則EF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x，根據(jù)勾股定理即可求得x值，即AE的值，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求得△AEC的面積；
【拓展與探索】：先證得四邊形ACB′D是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出∠AB′C=∠CDA=30°，∠B′AD=∠DCB′=90°，設(shè)∠ADB′=∠CB′D=y，則∠AB′D=y-30°，根據(jù)∠AB′D+∠ADB′=90°，得出y-30°+y=90°，解得y=60°，進(jìn)而求得∠AB′D=30°，通過解直角三角形即可求得BC．

解答 解：【發(fā)現(xiàn)與證明】：如圖1，
①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴AG=CG，
∴△AGC是等腰三角形；
②∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，
∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∵B′C=BC，
∴B′C=AD，
∴B′G=DG，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AGC=∠B′GD，∠ACB′=∠CAD，
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC；
【應(yīng)用與解答】：如圖2，
作CF⊥AB′于F，
∵∠B=30°，
∴∠AB′C=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$B′C=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，B′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$B′C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AB′=AB=2$\sqrt{3}$，
∴AF=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)AE=CE=x，則EF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x，
∵CF²+EF²=CE²，
∴（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x）²=x²，
解得x=$\frac{7\sqrt{3}}{9}$，
∴AE=$\frac{7\sqrt{3}}{9}$，
∴△AEC的面積=$\frac{1}{2}$AE•CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{7\sqrt{3}}{9}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{36}$；
【拓展與探索】：如圖2，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四邊形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，
∵△AB′D是直角三角形，
當(dāng)∠B′AD=90°，AB＞BC時(shí)，
設(shè)∠ADB′=∠CB′D=y，
∴∠AB′D=y-30°，
∵∠AB′D+∠ADB′=90°，
∴y-30°+y=90°，
解得y=60°，
∴∠AB′D=y-30°=30°，
∵AB′=AB=2$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$=2，
∴BC=2，
當(dāng)∠ADB′=90°，AB＞BC時(shí)，如圖3，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四邊形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′=90°，
∴四邊形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$=3；
當(dāng)∠B′AD=90°AB＜BC時(shí)，如圖4，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴∠AB′C=30°，
∴GC=$\frac{1}{2}$B′C=$\frac{1}{2}$BC，
∴G是BC的中點(diǎn)，
在RT△ABG中，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$=3，
∴BC=6；
當(dāng)∠AB′D=90°時(shí)，如圖5，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四邊形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D=90°，
∴四邊形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴BC=AB÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4；
∴已知當(dāng)BC的長(zhǎng)為2或3或4或6時(shí)，△AB′D是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答，【拓展與探索】中能夠分類討論，準(zhǔn)確畫出各種情況的圖形是解題的關(guān)鍵．