Question

9．如圖1是一個拱形橋，該拱形橋及河道截面的示意圖如圖2所示，該示意圖由拋物線的一部分ABC（B是該拋物線的頂點）和矩形的三邊AO，OD，CD組成．已知河底OD是水平的，OD=10米，CD=8米，點B到河底的距離是A到河底的距離的1.5倍．以OD所在的直線為x軸，OA所在的直線為y軸建立平面直角坐標系．
（1）求點B的坐標及拋物線的解析式；
（2）一行人走在該拱形橋上面，帽子（點M）不小心掉進了河里（漂在河面上），該行人在A處用一根2.5米長的木棍恰好能鉤到距離點E1.5米的帽子，求此時河水的高度；
（3）已知從某時刻開始的36小時內(nèi)，水面與河底的距離h（米）隨時間t（小時）的變化滿足函數(shù)關(guān)系h=-$\frac{1}{128}$（t-17）²+9（0≤t≤36），且當水面到頂點B的距離不大于5米時，需禁止船只通行，求在這段時間內(nèi)，需要多長時間禁止船只通行？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出B點坐標，進而利用頂點式求出函數(shù)解析式即可；
（2）利用勾股定理得出AE的長進而得出答案；
（3）利用已知函數(shù)解析式結(jié)合題意得出h=7時的時間，進而得出答案．

解答 解：（1）由題意可得：AO=CD=8m，B點縱坐標為：1.5×8=12，則B點坐標為：（5，12），
設拋物線解析式為：y=a（x-5）²+12，將A（0，8）代入解析式得：
8=a（0-5）²+12，
解得：a=-$\frac{4}{25}$．
故拋物線解析式為：y=-$\frac{4}{25}$（x-5）²+12；

（2）連接AM，
由題意可得：AM=2.5m，EM=1.5m，
在Rt△AEM中，AE=$\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}$=2（m），
則EO=8-2=6（m），故此時河水的高度為6米；

（3）當水面到頂點B的距離為5米時，此時h=7，則7=-$\frac{1}{128}$（t-17）²+9，
解得：t₁=1，t₂=33．
則在1～33小時這段時間內(nèi)，即需要33-1=32（小時）禁止船只通行．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的應用以及勾股定理等知識，根據(jù)題意得出B點坐標是解題關(guān)鍵．