Question

18．二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的一部分如圖所示．已知它的頂點(diǎn)M在第二象限，且經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0，1）此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（Ⅰ）試求a，b所滿足的關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)△AMC的面積為△ABC面積的$\frac{5}{4}$倍時(shí)，求a的值；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得△ABC為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0，1）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可以得到關(guān)于a，b，c關(guān)系式．整理就得到a，b的關(guān)系．
（2）△ABC的面積可以求出是$\frac{1}{2}$，利用公式求出拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而表示出△AMC的面積，根據(jù)S_△AMC=$\frac{5}{4}$S_△ABC，就可以得到關(guān)于a的方程，解得a的值；
（3）本題應(yīng)分A是直角頂點(diǎn)，B是直角頂點(diǎn)，C是直角頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）將A（1，0），B（0，l）代入y=ax²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，
可得：a+b=-1

（2）∵a+b=-1，
∴b=-a-1代入函數(shù)的解析式得到：y=ax²-（a+1）x+1，
頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為$\frac{4a-（a+1）^{2}}{4a}$=-$\frac{（a-1）^{2}}{4a}$，
因?yàn)镾_△AMC=$\frac{5}{4}$S_△ABC，
由同底可知：-$\frac{（a-1）^{2}}{4a}$=$\frac{5}{4}$×1，
整理得：a²+3a+1=0，
解得：a=$\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$，
由圖象可知：a＜0，
因?yàn)閽佄锞�過點(diǎn)（1，0），頂點(diǎn)M在第二象限，其對(duì)稱軸x=$\frac{a+1}{2a}$，
∴-1＜a＜0，
∴a=$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$舍去，
從而a=$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$．

（3）①由圖可知，A為直角頂點(diǎn)不可能；
②若C為直角頂點(diǎn)，此時(shí)C點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，不合題意；
③若設(shè)B為直角頂點(diǎn)，則可知AC²=AB²+BC²，
令y=0，可得：0=ax²-（a+1）x+1，
解得：x₁=1，x₂=$\frac{1}{a}$，
得：AC=1-$\frac{1}{a}$，BC=$\sqrt{{1}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$，AB=$\sqrt{2}$．
則（1-$\frac{1}{a}$）²=（1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）+2，
解得：a=-1，由-1＜a＜0，不合題意．
所以不存在．
綜上所述：不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)綜合以及三角形面積求法、勾股定理等知識(shí)，利用分類討論以及數(shù)與形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．