Question

13．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點（-1，4），與直線y=-x+1相交于A、B兩點，其中點A在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（-3，O）．點M是直線AB上方的拋物線上一動點，過M作MP⊥x軸，垂足為點P，交直線AB于點N．設(shè)點M的橫坐標為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當m為何值時，線段MN取最大值？并求出這個最大值；
（3）是否存在點M，使以B、C、N、M為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）兩點間的距離，可得關(guān)于m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)菱形的判定，可得答案．

解答 解：（1）當x=-3時，y=-（-3）+1=4，即B（-3，4），當x=0時，y=1，即A（0，1），
將（-1，4）（-3，4）（0，1）代入y=ax²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{9a-3b+c=4}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\\{c=1}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-4x+1；
（2）M（m，-m²-4m+1），N（m，-m+1），
MN=-m²-4m+1-（-m+1）=-m²-3m=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
當m=-$\frac{3}{2}$時，MN_最大值=$\frac{9}{4}$；
（3）不存在點M，使以B、C、N、M為頂點的四邊形是菱形，
理由如下：假如存在，
MN=BC=-m²-3m=4，
m²+3m+4=0，
△=3²-4×1×4=-7，
m不存在，
∴不存在點M，使以B、C、N、M為頂點的四邊形是菱形

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)：頂點坐標是函數(shù)的最值，菱形的判定：四邊都相等的四邊形是菱形．