Question

15．將一塊含30°角的直角三角板OAB和一塊等腰直角三角板ODC按如圖的方式放置在平面直角坐標(biāo)系中．已知C、B兩點分別在x軸和y軸上，∠ABO=∠D=90°，OB=OC，AB=3．
（1）求邊OC的長．
（2）將直角三角板OAB繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，使OA落在x軸上的OA′位置，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出OB，然后利用OC=OB得到OC的長；
（2）先計算出OC的長，然后根據(jù)扇形面積公式，利用S_陰影部分=S_扇形AOA′-S_△OCD進行即可．

解答 解：（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，
∴OB=$\sqrt{3}$AB=3$\sqrt{3}$，
∴OC=OB=3$\sqrt{3}$，
（2）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，
∴AB=2AB=6，
∵△ODC為等腰直角三角形，
∴OD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OC=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴S_陰影部分=S_扇形AOA′-S_△OCD=$\frac{60•π•{6}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{3\sqrt{6}}{2}$•$\frac{3\sqrt{6}}{2}$=6π-$\frac{27}{4}$．

點評 本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．