Question

2．如圖中四邊形ABCD是由兩塊完全重合的三角板拼成的，且AB=2，∠ACD=90°，∠DAC=30°，開(kāi)始將一把直尺邊EF放在與AC重疊的位置，再由此將直尺繞著AC中點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角β，當(dāng)直尺邊EF與直線BD重疊時(shí)旋轉(zhuǎn)就停止，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中EF分別與線段BC、AD交于E、F．
（1）當(dāng)β為30或90度時(shí)，EF=2；
（2）β的最大值是多少？當(dāng)β的最大時(shí)，試求EF的長(zhǎng)．
（3）在角β的變化過(guò)程中是否存在以點(diǎn)E、B、A、F、D中的四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形的情況？若存在，求出β的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（精確到度，參考數(shù)據(jù)：tan71°≈2.9042，tan49°≈1.155，sin71°≈0.9455，sin49°≈0.7550，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 （1）分兩種情況：
①當(dāng)EF與AB不平行時(shí)，如圖1，作輔助線AG，證明四邊形EFAG是平行四邊形，則EF=AG=2，得等腰三角形ABG，則∠AGB=60°，所以∠EPC=∠CAG=30°，即β=30°，
②當(dāng)EF與AB平行時(shí)，如圖2，∠CPE=∠CAB=90°，即β=90°；
（2）如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角β等于∠BPC時(shí)最大在Rt△ABP中，tan∠BPA=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≈1.155，得∠BPA=49°，則∠BPC=β=180°-∠BPA=131°，β的最大值是131°，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理求BD的長(zhǎng)，即是EF的長(zhǎng)；
（3）存在，在以點(diǎn)E、B、A、F、D中選四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形有：四邊形DABE、FABE、DFBE，分別討論這三個(gè)四邊形，發(fā)現(xiàn)①四邊形FABE是菱形，β=90°，②四邊形DABE不可能是菱形，③四邊形FBED是菱形，β=∠CPE=41°．

解答 解：（1）分兩種情況：
①當(dāng)EF與AB不平行時(shí)，如圖1，過(guò)A作AG∥EF，交BC于G，
∵∠ACB=∠CAD，
∴BC∥AD，
∴四邊形EFAG是平行四邊形，
∴EF=AG=2，
∵AB=2，
∴AB=AG=2，
∴∠B=∠AGB，
∵△ADC≌△CAB，
∴∠B=∠D=90°-30°=60°，
∵∠AGB=∠BCA+∠CAG，∠BCA=30°，
∴∠CAG=60°-30°=30°，
∵PE∥AG，
∴∠EPC=∠CAG=30°，
即β=30°，
②當(dāng)EF與AB平行時(shí)，如圖2，
∴∠CPE=∠CAB=90°，
即β=90°，
綜上所述，β的度數(shù)是30°或90°，
故答案為：30或90；

（2）如圖3，從直尺旋轉(zhuǎn)可知：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角β等于∠BPC時(shí)最大，
∵AB=2，
∠BAC=∠ACD=90°，∠ABC=60°，
∴AC=2$\sqrt{3}$，PA=PC=$\sqrt{3}$，
在Rt△ABP中，tan∠BPA=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≈1.155，
∵tan49°≈1.155，
∴∠BPA=49°，∠BPC=β=180°-∠BPA=131°，
即：0≤β≤131°，
∴β的最大值是131°，
過(guò)B作BH⊥DA，交DA的延長(zhǎng)線于H，
∠BAH=180°-120°=60°，AB=2，
∴AH=1，BH=$\sqrt{3}$，DH=5，
在Rt△BDH中，BD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$，
∴EF=BD=2$\sqrt{7}$；

（3）存在，
∵在點(diǎn)E、B、A、F、D中，有D、F、A三點(diǎn)在同一邊上，
∴在以點(diǎn)E、B、A、F、D中選四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形有：四邊形DABE、FABE、DFBE，
如圖2，假設(shè)四邊形FABE是菱形，則AB=BE=2，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，EF∥AB，
∴∠EPC=∠PAB=90°，即β=90°，
∵在四邊形DABE中，AB=2，AD=BC=4，
∴DA≠AB，故四邊形DABE不可能是菱形，
如圖4，若又假設(shè)四邊形FBED是菱形，
則EF⊥BD于P，
則∠APF=90°-∠BPA=90°-49°=41°，即β=∠CPE=41°，
綜上所述，當(dāng)β=90°或41°時(shí)，（以點(diǎn)E、B、A、F、D中選四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形）四邊形FABE和四邊形DFBE是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形、平行四邊形、菱形的性質(zhì)和判定，三角形全等的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角函數(shù)等知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，比較復(fù)雜，與旋轉(zhuǎn)相結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．