Question

3．如圖．已知△ABC是等邊三角形，D，B，C，E在同一條直線上，且∠DAE=120°．
（1）試寫出圖中所有的相似三角形；
（2）式子BC²=DB•CE成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定及已知可得到題中存在的相似三角形；
（2）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例及已知，即可求得DB、BC、CE之間的關(guān)系．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
∴∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60°．
∵∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠EAC=60°．
∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．
∵∠D=∠D，∠E=∠E，
∴△DAE∽△DBA∽△ACE．
∴相似三角形共有3對．

（2）∵△DBA∽△ACE，
∴DB：AC=AB：CE．
∵AB=AC=BC，
∴BC²=DB•CE．

點評 此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：
①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．