Question

18．如圖，∠GDC+∠HBE=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．
（1）AE與FC會平行嗎？說明理由．
（2）AD與BC的位置關(guān)系如何？為什么？
（3）過點D作BC的垂線，垂足為M，求證：∠ABD=2∠CDM．

Answer 1

分析 （1）AE與CF平行，理由為：由鄰補角定義及已知兩角互補，等量代換得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證；
（2）由AE與CF平行，得到一對同旁內(nèi)角互補，根據(jù)∠DAE=∠BCF，等量代換得到另一對同旁內(nèi)角互補，利用同旁內(nèi)角互補兩直線平行得到AB與CD平行，利用兩直線平行同位角相等即可求出所求角的度數(shù)；
（3）利用平行線的性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)，等量代換即可得證．

解答 解：（1）AE∥CF，理由為：
∵∠GDF+∠GDC=180°，∠GDC+∠HBE=180°，
∴∠GDF=∠HBE，
∠ABG=∠HBE，
∴∠GDF=∠ABG，
∴AE∥CF；

（2）∵AE∥CF，
∴∠ABC+∠BCF=180°，
∵∠DAE=∠BCF，
∴∠ABC+∠DAE=180°，
∴AD∥BC；

（3）∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠C，
∴∠CDM=90°-∠C=90°-∠ADF，
∵CD∥AB，
∴∠GDF=∠DBA=180°-2∠ADF，
∴∠ABD=2∠CDM．

點評 此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．