Question

8．如圖，已知AC∥BD，點(diǎn)P是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合）
（1）如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問∠PAC，∠APB，∠PBD之間有什么關(guān)系，這種關(guān)系是否發(fā)生變化？
（2）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)P作PE∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CAP=∠APE，再由PE∥AC，AC∥BD得出PE∥BD，故可得出結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)分兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PAC+∠PBD=∠APB，且此關(guān)系不變．
理由如下：過點(diǎn)P作PE∥AC，則∠CAP=∠APE，
∵PE∥AC，AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠EPB=∠PBD，
∴∠APB=∠APE+∠EPB=∠PBD+∠CAP；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C上方時(shí)，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：如圖過點(diǎn)P作PE∥AC，
則∠EPA=∠PAC，∠PBD=∠POC．
∵PE∥AC，AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠EPB=∠PBD
∴∠PBD=∠POC=∠EPB=∠EPA+∠APB=∠PAC+∠APB．
②同理，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D下方時(shí)，∠PAC=∠PBD+∠APB．

點(diǎn)評 本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．