Question

4．如圖，正方形ABCD、P為其內(nèi)一點，BP=1，AP=$\sqrt{7}$，PC=3．
（1）把△ABP繞B順時針旋轉(zhuǎn)90°，設(shè)P對應(yīng)點P′，畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形；
（2）連結(jié)PP′，求PP′的長；
（3）你能求出∠BP′C的度數(shù)嗎？

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出P點的對應(yīng)點P′，則△CBP′為所求；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BP′=1，∠PBP′=90°，則可判斷△PBP′為等腰直角三角形，于是PP′=$\sqrt{2}$BP=$\sqrt{2}$；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP′=AP=$\sqrt{7}$，再利用勾股定理的逆定理可證明△PP′C為直角三角形，∠PP′C=90°，而∠PP′B=45°，所以∠BP′C=135°．

解答 解：（1）如圖，△CBP′為所作；
（2）∵△ABP繞B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBP′，
∴BP=BP′=1，∠PBP′=90°，
∴△PBP′為等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{2}$BP=$\sqrt{2}$；
（3）∵△ABP繞B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBP′，
∴CP′=AP=$\sqrt{7}$，
在△PP′C中，∵PC=3，P′C=$\sqrt{7}$，PP′=$\sqrt{2}$，
而（$\sqrt{7}$）²+（$\sqrt{2}$）²=3²，
∴P′C²+PP′²=PC²，
∴△PP′C為直角三角形，∠PP′C=90°，
而∠PP′B=45°，
∴∠∠BP′C=90°+45°=135°．

點評 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．