Question

10．拋物線y=ax²+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線上，P（1，-3），B（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若F為x軸上一點(diǎn)，且FO=OP，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）若D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO=∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）設(shè)F（q，0），利用已知條件FO=OP列出關(guān)于q的方程，通過(guò)解方程求得q的值，易得F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；

解答 解：（1）將P（1，-3）、B（4，0）代入y=ax²+c，得
$\left\{\begin{array}{l}16a+c=0\\ a+c=-3\end{array}\right.$，
 解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{c=-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$．
拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{16}{5}$；

（2）設(shè)F（q，0），則1²+3²=q²，
解得：q=$±\sqrt{10}$，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為$（{\sqrt{10}，0}）$，$（{-\sqrt{10}，0}）$；

（3）如圖1：當(dāng)D在P左側(cè)時(shí)，
由∠DPO=∠POB得DP∥OB．
D與P關(guān)于y軸對(duì)稱，P（1，-3）得D（-1，-3）．
如圖2，當(dāng)D在P右側(cè)時(shí)，即圖中D₂，則∠D₂PO=∠POB，延長(zhǎng)PD₂交x軸于Q，則QO=QP，
設(shè)Q（q，0），則（q-1）²+3²=q²，解得：q=5，
∴Q（5，0），
則直線PD₂為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$，
再聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$ 得：x=1或$\frac{11}{4}$，
∴D₂（$\frac{11}{4}$，-$\frac{27}{16}$ ）．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-3）或（$\frac{11}{4}，-\frac{27}{16}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，所以中考�？碱}型．