Question

4．如圖，矩形ABCD的邊長AB=2，AD=4，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（ k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過點 A（2，3）和點C．
（1）求矩形ABCD的周長等于12；
（2）OB延長線交AC于點M，求點M的坐標(biāo)；
（3）若P為函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（ k＞0，x＞0）的圖象上一個動點，過點P作直線l⊥x軸，交直線AD于點M，交直線BC于點N，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)PN=2PM時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根據(jù)正方形的性質(zhì)計算；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)分別求出點B的坐標(biāo)和點C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線OB的解析式、直線AC的解析式，解方程組即可；
（3）分點P在AD、BC之間、點P在AD上方兩種情況，根據(jù)矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的解析式解答即可．

解答 解：（1）∵矩形ABCD的邊長AB=2，AD=4，
∴矩形ABCD的周長=2（2+4）=12，
故答案為：12；
（2）由題意得，點B的坐標(biāo)為（2，1），點C的坐標(biāo)為（6，1），
設(shè)直線OB的解析式為：y=kx，直線AC的解析式為：y=ax+b，
則2k=1，$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=3}\\{6a+b=1}\end{array}\right.$，
解得，k=$\frac{1}{2}$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線OB的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x，直線AC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+4，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴點M的坐標(biāo)為（4，2）；
（3）∵函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點 A（2，3），
∴k=6，即反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$，
當(dāng)點P在AD、BC之間時，
∵PN=2PM，AB=2，
∴PN=$\frac{4}{3}$，
∴點P的縱坐標(biāo)是$\frac{7}{3}$，即$\frac{7}{3}$=$\frac{6}{t}$，
解得，t=$\frac{18}{7}$；
當(dāng)點P在AD上方時，
∵PN=2PM，AB=2，
∴PN=4，
∴點P的縱坐標(biāo)是5，即5=$\frac{6}{t}$，
解得，t=$\frac{6}{5}$，
∴當(dāng)PN=2PM時，t的值為$\frac{18}{7}$或$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查的反比例函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．