Question

6．如圖1，某小區(qū)有一塊空閑的梯形空地OABC，其中∠AOC=90°，OA=180m，OC=100m，BC=80m，為了改善居民的生活環(huán)境，同時(shí)滿(mǎn)足居民停車(chē)的需要，物業(yè)公司決定對(duì)其進(jìn)行改造，如圖2建立直角坐標(biāo)系．
（1）求線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式；
（2）物業(yè)公司的改造方案如下：在A(yíng)B邊上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OC于E．劃分出矩形ODPE部分修建花園，其余部分改造成停車(chē)場(chǎng)，居民要求花園的面積不得低于空地面積的60%，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，物業(yè)公司的改造方案是否可行；
（3）考慮到小區(qū)內(nèi)行人的安全，有居民建立重新規(guī)劃，將梯形空地劃分的面積比為6：4的兩部分，分別用于修建花園和停車(chē)場(chǎng)，物業(yè)公司決定采納居民的建議，請(qǐng)你幫助物業(yè)公司設(shè)計(jì)一個(gè)改造方案，畫(huà)出簡(jiǎn)圖，并簡(jiǎn)要說(shuō)明你的改造方案．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式是y=kx+b，把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出k、b的值是多少，即可確定出線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式；
（2）首先作BN⊥OA與點(diǎn)N，BN與EP相交于點(diǎn)M，設(shè)EP=x，DP=y，則MP=x-80，NA=180-80=100，求出x+y=180，進(jìn)而求出矩形ODPE的面積的最大值是多少；然后把它和梯形的面積的60%比較大小，判斷出物業(yè)公司的改造方案是否可行即可．
（3）首先根據(jù)花園和停車(chē)場(chǎng)的面積比為6：4，求出花園的面積是多少；然后考慮到小區(qū)內(nèi)行人的安全，可以設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形的花園和一個(gè)梯形的停車(chē)場(chǎng)，據(jù)此解答即可．

解答 解：（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)是（180，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（80，100），
設(shè)線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{0=180k+b}\\{100=80k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=180}\end{array}\right.$，
∴線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式是：
y=-x+180．

（2）如圖1，作BN⊥OA與點(diǎn)N，BN與EP相交于點(diǎn)M，，
設(shè)EP=x，DP=y，
則MP=x-80，NA=180-80=100，
∵$\frac{MP}{NA}=\frac{BM}{BN}$，
∴$\frac{x-80}{100}=\frac{100-y}{100}$，
∴x+y=180，
∴xy≤${（\frac{x+y}{2}）}^{2}$=${（\frac{180}{2}）}^{2}$=8100，
∵S_梯形OABC=（80+180）×100÷2
=260×100÷2
=13000（平方米）
∴S_梯形OABC×60%
=13000×0.6
=7800（平方米）
∵矩形ODPE的面積最大是8100平方米，8100＞7800，
∴可以滿(mǎn)足矩形ODPE的面積不低于空地面積的60%，
∴物業(yè)公司的改造方案可行．

（3）如圖2，，
∵13000×$\frac{6}{6+4}$
=13000×0.6
=7800（平方米）
∴花園的面積是7800平方米，
∵7800÷100=78（米），
∴可以設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形的花園CMNO，和一個(gè)梯形的停車(chē)場(chǎng)MBAN，
其中CM=ON=78米，MB=2米，NA=102米．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力．
（2）此題還考查了直線(xiàn)的解析式的求法，以及梯形的面積的求法，還有兩個(gè)數(shù)的最值的判斷，要熟練掌握．