Question

17．在學習圓與正多邊形時，李曉露、馬家駿兩位同學設計了一個畫圓內接正三角形的方法：
①如圖，作直徑AD；
②作半徑OD的垂直平分線，交⊙O于B，C兩點；
③聯(lián)結AB、AC、BC，那么△ABC為所求的三角形．
（1）請你按照兩位同學設計的畫法，畫出△ABC．
（2）請你判斷兩位同學的作法是否正確？如果正確，給出△ABC是正三角形的證明過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作OD的垂直平分線得到弦BC，從而得到△ABC；
（2）連結CO，BC交AD于D，如圖，由于BC垂直平分OD，易得OE=$\frac{1}{2}$OC，在Rt△OEC中，利用三角函數(shù)定義可求出∠OCE=30°，則∠COE=60°，再根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，則AB=AC，根據(jù)圓周角定理得到∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COE=30°，即∠BAC=60°，于是可判斷△ABC為等邊三角形．

解答 解：（1）如圖；
（2）兩位同學的方法正確．
連結CO，BC交AD于D，如圖，
∵BC垂直平分OD，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD，即OE=$\frac{1}{2}$OC，
在Rt△OEC中，∵sin∠OCE=$\frac{OE}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OCE=30°，
∴∠COE=60°，
∵AD⊥BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=AC，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COE=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．也考查了等邊三角形的判定、垂徑定理和圓周角定理．