Question

9．已知x=$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+1}$，y=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}$
（1）求代數(shù)式$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的值；
（2）求代數(shù)式$\frac{{x}^{2}+2xy+{y}^{2}}{{x}^{2}{y}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)題意得出$\frac{1}{x}$與$\frac{1}{y}$的值，再代入代數(shù)式進行計算即可；
（2）先把代數(shù)式的分子分母同時除以x²y²，再把出$\frac{1}{x}$與$\frac{1}{y}$的值代入進行計算即可．

解答 解：（1）∵x=$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+1}$，y=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}$，
∴$\frac{1}{x}$=$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1，$\frac{1}{y}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1，
∴原式=（$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1）（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1）=（$\sqrt{2}$+1）²-3=2$\sqrt{2}$；

（2）代數(shù)式的分子分母同時除以x²y²得，$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{2}{xy}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵$\frac{1}{x}$=$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1，$\frac{1}{y}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1，
∴原式=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1）²+2（$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1）（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1）+（$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1）²
=[（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1）+（$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1）]²
=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+1）²
=（2$\sqrt{2}$+2）²
=12+8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是分式的化簡求值，分式中的一些特殊求值題并非是一味的化簡，代入，求值．許多問題還需運用到常見的數(shù)學(xué)思想，如化歸思想（即轉(zhuǎn)化）、整體思想等，了解這些數(shù)學(xué)解題思想對于解題技巧的豐富與提高有一定幫助．