Question

9．如圖，已知AB∥CD，分別探究下面四個(gè)圖形中∠APC和∠PAB，∠PCD的關(guān)系，請(qǐng)你從所得四個(gè)關(guān)系中任意選出一個(gè)，說(shuō)明你探究結(jié)論的正確性．
結(jié)論：（1）∠APC=360°-∠PAB-∠PCD；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠APC=∠PCD-∠PAB；（4）∠APC=∠PAB-∠PCD．
選擇結(jié)論（2），說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，則PE∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE+∠PAB=180°、∠CPE+∠PCD=180°，再根據(jù)∠APC=∠APE+∠CPE即可得出∠APC=360°-∠PAB-∠PCD；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PF∥AB，則PF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APF=∠PAB、∠CPF=∠PCD，再根據(jù)∠APC=∠APF+∠CPF即可得出∠APC=∠PAB+∠PCD；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，則PM∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APM=180°-∠PAB、∠CPM=180°-∠PCD，再根據(jù)∠APC=∠APM-∠CPM即可得出∠APC=∠PCD-∠PAB；
（4）過(guò)點(diǎn)P作PN∥AB，則PN∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APN=180°-∠PAB、∠CPN=180°-∠PCD，再根據(jù)∠APC=∠CPN-∠APN即可得出∠APC=∠PAB-∠PCD．

解答 解：（1）∠APC=360°-∠PAB-∠PCD，理由如下：
過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴PE∥CD，
∴∠APE+∠PAB=180°，∠CPE+∠PCD=180°．
∵∠APC=∠APE+∠CPE，
∴∠APC=180°-∠PAB+180°-∠PCD=360°-∠PAB-∠PCD．

（2）∠APC=∠PAB+∠PCD，理由如下：
過(guò)點(diǎn)P作PF∥AB，
∵AB∥CD，PF∥AB，
∴PF∥CD，
∴∠APF=∠PAB，∠CPF=∠PCD．
∵∠APC=∠APF+∠CPF，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD．

（3）∠APC=∠PCD-∠PAB，理由如下：
過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，則PM∥CD，
∴∠APM=180°-∠PAB，∠CPM=180°-∠PCD，
∴∠APC=∠APM-∠CPM=（180°-∠PAB）-（180°-∠PCD）=∠PCD-∠PAB．

（4）∠APC=∠PAB-∠PCD，理由如下：
過(guò)點(diǎn)P作PN∥AB，則PN∥CD，
∴∠APN=180°-∠PAB，∠CPN=180°-∠PCD，
∴∠APC=∠CPN-∠APN=（180°-∠PCD）-（180°-∠PAB）=∠PAB-∠PCD．．
故答案為：（1）∠APC=360°-∠PAB-∠PCD；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠APC=∠PCD-∠PAB；（4）∠APC=∠PAB-∠PCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)找出∠APE+∠PAB=180°、∠CPE+∠PCD=180°；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)找出∠APF=∠PAB、∠CPF=∠PCD；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)找出∠APM=180°-∠PAB、∠CPM=180°-∠PCD；（4）根據(jù)平行線的性質(zhì)找出∠APN=180°-∠PAB、∠CPN=180°-∠PCD．