Question

5．已知x₁、x₂是一元二次方程x²-2x+3m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x₁、x₂滿足不等式$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＞1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+1-3m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可推出△=（-2）²-4×3m≥0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁•x₂=$\frac{3m}{2}$，x₁+x₂=2；且x₁、x₂滿足不等式$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＞1，代入即可得到一個(gè)關(guān)于m的不等式，由此可解得m的取值范圍．

解答 解：∵x₁、x₂是一元二次方程x²-2x+3m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=4-12m≥0，
解得：m≤$\frac{1}{3}$，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=3m，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{2}{3m}$＞1，
解得：m＜$\frac{2}{3}$，
∴m$≤\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式及一元一次不等式的解法．在解不等式時(shí)一定要注意數(shù)值的正負(fù)與不等號(hào)的變化關(guān)系，靈活的應(yīng)用不等式的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．