Question

11．如圖：D在△ABE內(nèi)部，點C在AE上，AD交BE于P，DC交BE于F，∠ABD=∠ACD，∠PDB=∠PDC．
（1）求證：AB=AC；
（2）若AB=3，AE=5，求BP：PE的值．

Answer 1

分析 （1）由∠PDB=∠PDC，根據(jù)鄰補角的定義得到∠ADB=∠ADC，推出△ABD≌△ACD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過B作BG∥AE交AP的延長線于G，于是得到∠EAP=∠G，由于∠BAD=∠CAD，等量代換得到∠BAD=∠G，求出AB=BG=3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠PDB=∠PDC，
∴180°-∠PDB=180°-∠PDC，
即：∠ADB=∠ADC，
在△ABD與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACD}\\{∠ADB=∠ADC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC；

（2）解：過B作BG∥AE交AP的延長線于G，
∴∠EAP=∠G，
∵△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠G，
∴AB=BG=3，
∵BG∥AE，
∴△BPG∽△APE，
∴$\frac{BG}{AE}=\frac{PB}{PE}$=$\frac{3}{5}$；

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．