Question

13．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，AE=BE，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CM，點(diǎn)G在線段CM上，作∠GDN=∠AEB交邊BC于N．

（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)M重合時(shí)，求證：四邊形DMEN是菱形；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)M、C不重合時(shí)，求證：DG=DN．

Answer 1

分析 （1）如圖2中，首先證明四邊形DMEN是平行四邊形，再證明ME=MD即可證明．
（2）如圖1中，取BE的中點(diǎn)F，連接DM、DF．只要證明△DMG≌△DFN即可．

解答 證明：（1）如圖2中，

∵AM=ME．AD=DB，
∴DM∥BE，
∴∠GDN+∠DNE=180°，
∵∠GDN=∠AEB，
∴∠AEB+∠DNE=180°，
∴AE∥DN，
∴四邊形DMEN是平行四邊形，
∵DM=$\frac{1}{2}$BE，EM=$\frac{1}{2}$AE，AE=BE，
∴DM=EM，
∴四邊形DMEN是菱形．

（2）如圖1中，取BE的中點(diǎn)F，連接DM、DF．

由（1）可知四邊形EMDF是菱形，
∴∠AEB=∠MDF，DM=DF，
∴∠GDN=∠AEB，
∴∠MDF=∠GDN，
∴∠MDG=∠FDN，
∵∠DFN=∠AEB=∠MCE，∠GMD=∠EMD+∠CME，、
在Rt△ACE中，∵AM=ME，
∴CM=ME，
∴∠MCE=∠CEM=∠EMD，
∴∠DMG=∠DFN，
∴△DMG≌△DFN，
∴DG=DN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．