Question

3．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，點O為對稱中心，過點O的直線l交AD于點E，交BC于點F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）當(dāng)∠AOE=30°時，求線段EF的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)ASA即可判斷．
（2）在Rt在Rt△OFC中，∠COF=30°，OF=OCsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再根據(jù)EF=2OF即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，O為對稱中心，
∴AD∥BC，AO=OC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA）．

（2）∵四邊形ABCD是菱形，O是對稱中心，
∴AB=BC=2，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=2，∠ACB=60°，
∴OC=1，
當(dāng)∠AOE=30°時，OF⊥BC，
在Rt△OFC中，∠COF=30°，OF=OCsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由（1）可知，OE=OF，
∴EF=2OF=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考常考題型．