Question

1．如圖，已知點A（-1，0），點B是直線y=x+2上的動點，點C是y軸上的動點，則△ABC的周長的最小值等于（　�。�

• A． $\sqrt{10}$
• B． 2+$\sqrt{2}$
• C． 1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． 1-$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 作點A關于直線y=x+2的對稱點A′，作點A關于y軸的對稱點A″，連接A′A″交直線y=x+2于B，交y軸于C，根據(jù)“兩點之間，線段最短”可得出此時△ABC的周長取最小值，由點A的坐標可得出點A′、A″的坐標，利用勾股定理（或兩點間的距離公式）即可求出A′A″的長度，此題得解．

解答 解：作點A關于直線y=x+2的對稱點A′，作點A關于y軸的對稱點A″，連接A′A″交直線y=x+2于B，交y軸于C，如圖1所示．
∵點A、A′關于直線y=x+2對稱，點A、A″關于y軸對稱，
∴AB=A′B，AC=A″C．
∴C_△ABC=AB+BC+CA=A′B+BC+CA″=A′A″（由兩點之間，線段最短，可得出此時△ABC的周長最�。�．
過點A′作AD⊥x軸于點D，如圖2所示．
∵直線的解析式為y=x+2，AA′⊥該直線，
∴∠DAA′=45°，
∴△ADA′為等腰直角三角形，點D為直線y=x+2與x軸的交點，
∴點D（-2，0），AD=1，
∴點A′（-2，1）．
∵點A、A″關于y軸對稱，點A（-1，0），
∴點A″（1，0）．
在Rt△A′DA″中，A′D=1，A″D=1-（-2）=3，
∴A′A″=$\sqrt{A′{D}^{2}+A″{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
故選A．

點評 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點、軸對稱中的最短路線問題以及解直角三角形，找出△ABC的周長取最小值時點B、C的位置是解題的關鍵．