Question

13．如圖，AB∥CD，E為直線BC右側(cè)一點(diǎn)，連接BE、CE，作∠ABE和∠DCE的角平分線BF、CF相交于點(diǎn)F．
（1）請(qǐng)寫出∠ABE、∠DCE和∠E的關(guān)系式，并證明；
（2）請(qǐng)直接寫出∠ABF、∠DCF和∠F的關(guān)系式；
（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出∠E和∠F的關(guān)系式，并計(jì)算當(dāng)∠F=125°時(shí)，∠E的大�。�

Answer 1

分析 （1）過(guò)E作EG∥AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°；
（2）過(guò)F作FH∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得出∠BFC=∠ABF+∠DCF；
（3）根據(jù)∠ABE和∠DCE的角平分線BF、CF相交于點(diǎn)F，即可得到∠ABE+∠DCE=2（∠ABF+∠DCF），再根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論，可得360°-∠BEC=2∠BFC，進(jìn)而得到2∠BFC+∠BEC=360°．

解答 解：（1）如圖所示，過(guò)E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠DCE+∠CEG=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠DCE+∠CEG=360°，
∴∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°，
即∠ABE+∠DCE=360°-∠BEC；

（2）如圖所示，過(guò)F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠DCF=∠CFH，
∴∠BFC=∠BFH+∠CFH=∠ABF+∠DCF，
即∠BFC=∠ABF+∠DCF；

（3）∵∠ABE和∠DCE的角平分線BF、CF相交于點(diǎn)F，
∴∠ABE=2∠ABF，∠DCE=2∠DCF，
∴∠ABE+∠DCE=2（∠ABF+∠DCF），
由（1）、（2）的結(jié)論，可得360°-∠BEC=2∠BFC，
∴2∠BFC+∠BEC=360°，
∴當(dāng)∠BFC=125°時(shí)，250°+∠BEC=360°，
∴∠BEC=110°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．解題的關(guān)鍵是作出GE和FH這兩條輔助線．