Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中點，連接OB，OC，點E在線段BC上（點E不與B、C重合），過點E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，則EM+EN的值為$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 過B作BH⊥OC于H，過E作EM⊥BH于M，由四邊形EGHN是矩形，得到EN=HM，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠A=∠D=90°，AB=CD，證得△ABO≌△CDO，得到OB=OC，推出△BEM≌△BEG，得到BG=EM，等量代換得到BH=EM+EN，由△BCH∽△CDO，得到比例式，即可得到結(jié)論．

解答 解：過B作BH⊥OC于H，過E作EG⊥BH于G，
則四邊形EGHN是矩形，
∴EN=HM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
∵O是AD的中點，
∴AO=DO，
在△ABO與△CDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠A=∠D}\\{AO=DO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CDO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠GEB=∠OCB，
在△BEM與△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BME=∠EGB}\\{∠MBE=∠GEB}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△BEG，
∴BG=EM，
∴BH=EM+EN，
∵AD∥BC，
∴∠DOC=∠OCB，
∵∠D=∠BHC=90°，
∴△BCH∽△CDO，
∴$\frac{CD}{BH}=\frac{OC}{BC}$，
∵OC=$\sqrt{O{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴BH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴EM+EN的值為：$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．