Question

6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，∠A=α，∠ABD=β，若tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，求：tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于點(diǎn)E，由tanα=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$、tanβ=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{1}{3}$設(shè)DE=x，則AE=2x，BE=3x，AB=5x，根據(jù)勾股定理求得AD=$\sqrt{5}$x、BD=$\sqrt{10}$x，再證△ADE∽△ABC得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{x}{BC}=\frac{\sqrt{5}x}{5x}$，從而求出BC=$\sqrt{5}$x，根據(jù)勾股定理求得DC=$\sqrt{5}$x，即可得答案．

解答 解：如圖，作DE⊥AB于點(diǎn)E，

則∠AED=∠BED=90°，
∵tanα=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
∴設(shè)DE=x，則AE=2x，BE=3x，
∴AB=5x，
由勾股定理可得AD=$\sqrt{5}$x，BD=$\sqrt{10}$x，
∵∠AED=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{x}{BC}=\frac{\sqrt{5}x}{5x}$，
解得：BC=$\sqrt{5}$x，
由勾股定理可得DC=$\sqrt{B{D}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}x）^{2}-（\sqrt{5}x）^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴tan（α+β）=tan∠ADC=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{5}x}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義，結(jié)合題意建立合適的直角三角形并表示出所需邊的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．