Question

15．一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若它的第一位數(shù)可以被1整除，它的前兩位數(shù)可以被2整除，前三位數(shù)可以被3整除，…，一直到前N位數(shù)可以被N整除，則這樣的數(shù)叫做“精巧數(shù)”．如：123的第一位數(shù)“1”可以被1整除，前兩位數(shù)“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，則123是一個“精巧數(shù)”．
（1）若四位數(shù)$\overline{123k}$是一個“精巧數(shù)”，求k的值；
（2）若一個三位“精巧數(shù)”$\overline{2ab}$各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，請求出所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”．

Answer 1

分析 （1）由四位數(shù)$\overline{123k}$是一個“精巧數(shù)”，可得1230+k是4的倍數(shù)；即可得1230+k=4n，繼而可求得答案；
（2）由$\overline{2ab}$是“精巧數(shù)”，可得a為偶數(shù)，且2+a+b是3的倍數(shù)，且2+a+b＜30，又由$\overline{2ab}$各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，可得2+a+b=3²=9，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵四位數(shù)$\overline{123k}$是一個“精巧數(shù)”，
∴1230+k是4的倍數(shù)；
即1230+k=4n，
當(dāng)n=308時，k=2；
當(dāng)n=309時，k=6，
∴k=2或6；

（2）∵$\overline{2ab}$是“精巧數(shù)”，
∴a為偶數(shù)，且2+a+b是3的倍數(shù)，
∵a＜10，b＜10，
∴2+a+b＜30，
∵$\overline{2ab}$各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，
∴2+a+b=3²=9，
∴當(dāng)a=0時，b=7，
當(dāng)a=2時，b=5，
當(dāng)a=4時，b=3，
當(dāng)a=6時，b=1，
∴所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”有：207，225，243，261．

點評 此題考查了完全平方數(shù)的應(yīng)用問題．注意掌握數(shù)的整除問題，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．