Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為MN（點M、N分別在邊AC、BC上），給出以下判斷：
①當(dāng)MN∥AB時，CM=AM；                    
②當(dāng)四邊形CMDN為矩形時，AC=BC；
③當(dāng)點D為AB的中點時，△CMN與△ABC相似；
④若AC=3，BC=4，則1≤AD≤3．
其中正確的是①③④（把所有正確的結(jié)論的序號都填在橫線上）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CMN=∠CAB，∠NMD=∠MDA，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到∠CMN=∠DMN，CM=DM，根據(jù)等腰三角形的判定和等量代換證明即可；
②根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CM=DE，故四邊形CMDN是正方形，根據(jù)任意一個直角三角形都有一個內(nèi)接正方形即可得到結(jié)論；
③連接CD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，于是得到∠DCB=∠B，由軸對稱的性質(zhì)推出∠DCB+∠CNM=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CNM=∠A，即可得到結(jié)論；
④分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)N與B重合時，當(dāng)M與A重合時，分別求得AD的最小值與最大值即可．

解答 解：①∵M(jìn)N∥AB，
∴∠CMN=∠CAB，∠NMD=∠MDA，
由翻折變換的性質(zhì)可知，∠CMN=∠DMN，CM=DM，
∴∠CAB=∠MDA，
∴AM=DM，
∴CM=AM，故①正確；
②根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CE=DE，矩形CMDN是正方形，
又∵任意一個直角三角形都有一個內(nèi)接正方形，故②錯誤；
③當(dāng)點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似，
理由如下：如圖，連接CD，與MN交于點Q，

∵CD是Rt△ABC的中線，
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DCB=∠B，
由軸對稱的性質(zhì)可知，∠CQN=∠DQN=90°，
∴∠DCB+∠CNM=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CNM=∠A，
又∵∠MCN=∠BCA，
∴△CMN∽△CBA；故③正確；
④若AC=3，BC=4，則Rt△ABC中，AB=5，
如圖，當(dāng)N與B重合時，DB=CB=4，

此時，AD=AB-DB=5-4=1；
如圖，當(dāng)M與A重合時，AD=AC=3，

∴1≤AD≤3，故④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握翻折變換是一種軸對稱，翻折前后對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，正確運用分類討論及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．