Question

20．正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…按如圖所示的方式放在平面直角坐標系中，
點A₁，A₂，A₃，…和點C₁，C₂，C₃，…分別在直線y=x+1和x軸上．
（1）填寫下列各點的坐標：B₁（1，1），B₂（3，2），B₃（7，4）；
（2）寫出點B_n的坐標（n是正整數）；
（3）如果記正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…的面積分別為S₁，S₂，S₃…，請求出S₂₀₁₅．

Answer 1

分析 （1）先求出直線y=x+1與y軸的交點坐標和與x軸的交點坐標，得出第一個正方形的邊長，再得出第二個正方形的邊長，即可求出A₂的坐標和點B₁的坐標，B₂的坐標、B₃的坐標；
（2）由（1）得出規(guī)律，即可得出點B_n的坐標；
（3）先求出第一個正方形和第二個正方形的面積，…，得出規(guī)律，即可得出結果．

解答 解：（1）∵對于直線y=x+1，當y=0時，x=1，；當x=0時，y=-1，
∴直線與y軸的交點為（0，1），與x軸的交點為（-1，0），
∴OA₁=1，OB=1，∵∠BOA₁=90°，
∴∠OBA₁=∠OA₁B=45°，
∵四邊形A₁B₁C₁O、四邊形A₂B₂C₂C₁是正方形，
∴A₁B₁=A₂B₁═OA₁=1，
∴A₂C₁=1+1=2，同理：A₃C₂=4，…，
∴A₂的坐標是：（1，2），點B₁的坐標為（1，1），
∵點A₁，A₂，A₃，…在直線y=x+1（k＞0），
∵C₂的橫坐標是3，A₂的縱坐標為2，…，
∴B₂的坐標為（3，2），B₃（7，4）；
故答案為1，1；3，2；7，4；
（2）∴在直線y=x+1中，令x=3，則A₃縱坐標是：3+1=4，
∴B₃的橫坐標為1+2+4=7=2³-1，縱坐標為4=2²，
∴Bn的橫坐標是：2ⁿ-1，縱坐標是：2^n-1，
∴點B_n的坐標為（2ⁿ-1，2^n-1）；
（3）∵S₁=1²=1，S₂=2²=（2¹）²，S₃=4²=（2²）²，…，
∴S_n=（2^n-1）²=2^2n-2，
∴S₂₀₁₅=2²⁰²⁸．

點評 本題考查了正方形的性質、一次函數圖象上點的坐標特征；根據點的坐標和正方形的面積得出規(guī)律是解決問題的關鍵．