Question

5．已知四邊形ABCD是平行四邊形，CD為⊙O的切線，點(diǎn)C是切點(diǎn)．
（Ⅰ）如圖1，若AB為⊙O直徑，求四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù)；
（Ⅱ）如圖2，若AB為弦，⊙O的半徑為3cm，當(dāng)BC=2cm時(shí)，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OC．只要證明△OCB是等腰直角三角形即可解決問題
（2）如圖2中，連接OC交AB于點(diǎn)E，連接OB，由（1）可知：AB⊥OC，設(shè)OE=xcm，則CE=（3-x）cm，想辦法構(gòu)建方程即可解決問題；

解答 解：（1）如圖1中，連接OC．

∵CD切⊙O于點(diǎn)C，
∴CD⊥OC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥OC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴AB⊥CD，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB=45°，
∴∠BCD=∠OCD+∠OCB=135°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DAB=∠DCB=135°，∠D=∠B=45°．

（2）如圖2中，連接OC交AB于點(diǎn)E，連接OB，由（1）可知：AB⊥OC，

∴OB²-OE²=BE²，BC²-CE²=EB²，
設(shè)OE=xcm，則CE=（3-x）cm，
∴OB=3，BC=2，
∴3²-x²=2²-（3-x）²，
∴x=$\frac{7}{3}$，即OE=$\frac{7}{3}$cm，
∴BE=$\sqrt{O{B}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$cm，
∴AB=2BE=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$cm，
∵四邊形ABCD 平行四邊形，
∴CD=AB=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．