Question

17．在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)O處，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB，BC或其延長(zhǎng)線(xiàn)于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，如圖①與②是旋轉(zhuǎn)三角板所得圖形的兩種情況．
（1）三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，△OFC是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即給出△OFC是等腰直角三角形時(shí)BF的長(zhǎng)），若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，線(xiàn)段OE和OF之間有什么數(shù)量關(guān)系？用圖①或②加以證明．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，①當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的長(zhǎng)度，即可推出BF的長(zhǎng)度，②當(dāng)B與F重合時(shí)，③當(dāng)OC=FC時(shí)，根據(jù)直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，即可推出OF的長(zhǎng)度，即可推出BF的長(zhǎng)度；
（2）連接OB，由已知條件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF．

解答 解：（1）△OFC是能成為等腰直角三角形，
①當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，
∵O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴OF∥AB，
∴CF=OF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∵AB=BC=5，
∴BF=$\frac{5}{2}$，
②當(dāng)B與F重合時(shí)，
∵OF=OC=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴BF=0；

（2）如圖①，連接OB，
∵由（1）的結(jié)論可知，BO=OC=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
在△OEB與△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBE=∠C}\\{OB=OC}\\{∠EOB=∠FOC}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC（ASA），
∴OE=OF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于作好輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等的三角形．