Question

2．如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一直線上，AC與BD相交于M，DC與AE相交于點(diǎn)N．
（1）求證：BD=AE；
（2）△CMN是什么三角形？為什么？

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)證明△BCD≌△ACE就可以得出結(jié)論；
（2）△CMN是等邊三角形，由△BCD≌△ACE可知∠CBM=∠CAN，根據(jù)ASA可證明△BCM≌△ACN，得到CM=CN，又∠MCN=60°，可知△CMN是等邊三角形．

解答 （1）證明：∵△ABC與△DCE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∵∠ACB+∠ACD++∠DCE=180°，
∴∠ACD=60°，∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，
即∠BCD=∠ACE．
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD；
（2）△CMN是等邊三角形；
證明：∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBM=∠CAN．
在△BCM和△ACN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠CAN}\\{BC=AC}\\{∠ACB=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACN，
∴CM=CN，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△CMN是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用及全等三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用．線段相等問(wèn)題常常運(yùn)用全等解決．