Question

14．如圖，AC⊥BD，AD平分∠BAC，DE⊥AB．試判斷下面四個結(jié)論中哪些成立，哪些不成立．成立的，請說明理由；不成立的，請你在原有條件基礎上再添加條件使之成立，并證明．（1）AD平分∠CDE；（2）∠BAC=∠BDE；（3）DE平分∠ADB；（4）BD+AC＞AB．

Answer 1

分析 （1）證明△AED≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）根據(jù)同角的余角相等證明；
（3）添加條件∠BAC=60°，根據(jù)等腰三角形三線合一證明；
（4）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)證明．

解答 證明：（1）在△AED和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠ACD=90°}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD，
∴∠EDA=∠CDA，
∴AD平分∠CDE；
（2）∵∠BAC+∠B=90°，∠BDE+∠B=90°，
∴∠BAC=∠BDE；
（3）不成立，添加條件：∠BAC=60°，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠B=30°，又DE⊥AB，
∴DE平分∠ADB；
（4）由（1）得，AC=AE，
∵DE⊥AB，∴BD＞BE，
BD+AC=BD+AE＞BE+AE=AB，
∴BD+AC＞AB．

點評 本題考查的是角平分線的定義和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用相關的性質(zhì)定理和定義是解題的關鍵．