Question

12．如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，四邊形BCFG的面積為20cm²．
（1）求∠A的度數(shù)．
（2）若點(diǎn)A到線段BG的距離是a，求a²．
（3）求正八邊形的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出正八邊形每個(gè)內(nèi)角相等和多邊形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果；
（2）以表示出四邊形ABGH面積進(jìn)而求出答案即可；
（3）由（2）即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵正八邊形每個(gè)內(nèi)角相等，
∴∠A=$\frac{1}{8}$（8-2）×180°=135°；
（2）連接HE，AD，如圖所示：
在正八邊形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于點(diǎn)M，AD⊥BG于點(diǎn)N，
∵∠HGM=45°，
∴MH=MG，
∵點(diǎn)A到線段BG的距離是a，
則AN=MH=MG=a，HG=AH=AB=GF=$\sqrt{2}$a，
∴BG×GF=2（ $\sqrt{2}$+1）a²=20，
∴a²=$\frac{10}{\sqrt{2}+1}$=10（$\sqrt{2}$-1）；
（3）由（2）得：四邊形ABGH面積=$\frac{1}{2}$（AH+BG）×HM=（ $\sqrt{2}$+1）a²=10，
∴正八邊形的面積為：10×2+20=40（cm²）．

點(diǎn)評 此題主要考查了正八邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出四邊形ABGH面積是解決問題（3）的關(guān)鍵．