Question

17．在銳角三角形ABC中，AF是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作△ABD和△ACE，使得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，連接BE、DE、DC，DE與FA的延長線交于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①BE=DC；②BE⊥DC；③AG是△ADE的中線；④∠DAG=∠ABC．其中正確的有（　　）

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 ①由已知條件可證明△ADC≌△ABE，可得到CD=BE；
②設(shè)BE和AC交于點(diǎn)R，可知∠AEB=∠ACD，結(jié)合對頂角和三角形內(nèi)角和定理，可得到∠ENC=90°；
③過D作DH⊥AF交AF的延長線于H，過E作EM⊥AG于M，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠H=∠AFB，求得∠HDA=∠BAF，證得△AHD≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DH=AF，同理EM=AF，等量代換得到DH=EM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)的得到DG=EG，即可得到結(jié)論；
④根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：①∵△ABD和△ACE為等腰直角三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；故①正確；
設(shè)BE交AC于點(diǎn)R，CD，BE交于N如圖1，
由①可知∠AEB=∠ACD，且∠ARE=∠NRC，
∴∠AER+∠ARE=∠NCR+∠NRC，
∴∠EFC=∠EAR=90°，
∴BE⊥DC；故②正確；
③過D作DH⊥AF交AF的延長線于H，過E作EM⊥AG于M，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴∠H=∠AFB，
∵∠BAD=90°，
∴∠HDA=∠BAF，
在△AHD與△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠AFB}\\{∠HDA=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△AHD≌△ABF，
∴DH=AF，
同理EM=AF，
∴DH=EM，
在△DHG與△EMG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠EMG}\\{∠DGH=∠EGM}\\{DH=EM}\end{array}\right.$，
∴△DHG≌△EMG，
∴DG=EG，
∴AG是△ADE的中線；故③正確；
④∵△AHD≌△ABF，
∴∠DAG=∠ABC，故④正確．
故選A．

點(diǎn)評 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．