Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、點B分別在y軸、x軸的正半軸上，且滿足$\sqrt{OA-30}$+（OB-40）²=0，若點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段AO運動，同時點Q從B點出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿線段BA運動，連接PQ，點P，Q的運動時間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設(shè)△APQ的面積為S，當(dāng)t為何值時，S=64？
（3）點N在x軸上，在坐標(biāo)平面上是否存在點M，使以點M，P，Q，N為頂點的四邊形在某一時刻為正方形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出方程的根，得出A、B兩點的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）根據(jù)題意得出AP=2t，AQ=50-5t，作QM⊥OA于M，根據(jù)三角形相似等邊成比例求得QM=$\frac{4}{5}$（50-t），根據(jù)三角形面積公式即可求得△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系，把S=64代入即可求得t的值；
（3）分別作QG⊥OB，QH⊥OA，MK⊥y軸，ML⊥x軸，根據(jù)題意得四邊形OGQH是正方形，NG=PH=MK=ML，根據(jù)三角函數(shù)得出$\frac{QG}{QB}$=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{30}{50}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{BG}{QB}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{5}$，即可求得QG=3t，BG=4t，得出3t=40-4t，求得t=$\frac{40}{7}$，求得AP，OP的值，即可求得PH的值，從而求得NG=PH=MK=ML=$\frac{50}{7}$，即可得出M點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）$\sqrt{OA-30}$+（OB-40）²=0，
∴OA=30，OB=40，
∴A（0，30），B（40，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=30}\\{40k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=30}\end{array}\right.$
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+30；

（2）由題意得，AP=2t，AQ=50-5t
作QM⊥OA于M，如圖1，
∴△ANQ∽△AOB，
∴$\frac{QM}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{QM}{40}$=$\frac{50-5t}{50}$，
∴QM=$\frac{4}{5}$（50-5t），
∴S=$\frac{1}{2}$AP•QM=$\frac{1}{2}$×2t•$\frac{4}{5}$（50-5t）=-4t²+40t；
把S=64代入得，64=-4t²+40t，解得t=2或8，
∵0≤t≤15，
故當(dāng)t=2或8時，S=64；
（3）如圖2，分別作QG⊥OB，QH⊥OA，MK⊥y軸，ML⊥x軸，
由四邊形PQNM是正方形，則四邊形OGQH是正方形，
NG=PH=MK=ML，
∵QG⊥OB，
∴$\frac{QG}{QB}$=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{30}{50}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{BG}{QB}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{5}$
∵QB=5t，
∴QG=3t，BG=4t，
∴OG=40-4t，
∴3t=40-4t，
∴t=$\frac{40}{7}$，
∴AP=2t=$\frac{80}{7}$，QG=$\frac{120}{7}$，
∴OH=$\frac{120}{7}$，
∴PH=30-$\frac{80}{7}$-$\frac{120}{7}$=$\frac{10}{7}$，
∴NG=PH=MK=ML=$\frac{10}{7}$，
∴M（-$\frac{10}{7}$，$\frac{10}{7}$）．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角函數(shù)的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．