Question

3．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AB=10cm．一動(dòng)點(diǎn)M在邊AC上從A向C以3cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)N在邊BC上同時(shí)從C向B以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒．
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間x為多少秒時(shí)，△CMN的面積為5cm²？
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間x為多少秒時(shí)，以C、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，然后用x表示出線段MC和NC，利用三角形的面積計(jì)算公式列出方程求得時(shí)間即可；
（2）分△MCN∽△ACB時(shí)和△MCN∽△BCA時(shí)兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)列出方程求得時(shí)間即可．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AB=10cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∵動(dòng)點(diǎn)M在邊AC上從A向C以3cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)N在邊BC上同時(shí)從C向B以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，
∴AM=3xcm，CN=2xcm，
∴CM=（8-3x）cm，
（1）△CMN的面積為5cm²可得：$\frac{1}{2}$×2x（8-3x）=5，
解得：x=1或x=$\frac{5}{3}$，
答當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間x為1或$\frac{5}{3}$秒時(shí)，△CMN的面積為5cm²；

（2）當(dāng)△MCN∽△ACB時(shí)，
$\frac{MC}{AC}=\frac{NC}{BC}$，
即：$\frac{8-3x}{8}=\frac{2x}{6}$，
解得：x=$\frac{24}{17}$；
當(dāng)△MCN∽△BCA時(shí)，
$\frac{MC}{BC}=\frac{NC}{AC}$，
即：$\frac{8-3x}{6}=\frac{2x}{8}$，
解得：x=$\frac{16}{9}$，
答：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間x為$\frac{24}{17}$或$\frac{16}{9}$秒時(shí)，以C、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及相似三角形的應(yīng)用的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠表示出三角形的邊長，并利用相似三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式列出方程求解．