Question

9．操作發(fā)現(xiàn)
如圖1，在菱形ABCD中，∠B=60°，已知E，F(xiàn)分別是邊BA和邊AD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)F不與點(diǎn)D重合），BE=AF，連接CE，CF，EF，由此可以發(fā)現(xiàn)△CEF是等邊三角形．

類(lèi)比猜想
在上述條件不變的情況下，若動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別運(yùn)動(dòng)至邊BA和邊AD的延長(zhǎng)線上，如圖2所示，試猜想△CEF是否仍然為等邊三角形，并說(shuō)明理由．
深入研究
（1）在圖1的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)E作CF的平行線，并截取EG=CF，連接CG，BG，如圖3所示，試探究AF，BG與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你探究的結(jié)論；
（2）在圖2的基礎(chǔ)上，進(jìn)行（1）中的操作，如圖4所示，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出新的結(jié)論．

Answer 1

分析 類(lèi)比猜想：連結(jié)AC．先由四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，得出∠EAF=60°，AD=CD=AB，∠ADC=∠B=60°，那么△ACD是等邊三角形，于是AC=DC，∠ACD=∠CAD=60°，再根據(jù)SAS證明△ACE≌△DCF，得到CE=CF，∠ACE=∠DCF，然后求出∠ECF=∠ACD=60°，于是得出△CEF是等邊三角形；
深入研究：（1）連結(jié)AC，利用SAS證明△BCG≌△ACE，得出BG=AE，又AF=BE，于是得出AF+BG=AB；
（2）同（1），連結(jié)AC，利用SAS證明△BCG≌△ACE，得出BG=AE，又AF=BE，于是得出（1）中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論為AF-BG=AB．

解答 解：類(lèi)比猜想：△CEF仍然為等邊三角形，理由如下：
連結(jié)AC．
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴∠EAF=60°，AD=CD=AB，∠ADC=∠B=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AC=DC，∠ACD=∠CAD=60°，
∴∠CAE=∠CDF=120°，
∵BE=AF，
∴BE-AB=AF-AD，即AE=DF，
∴△ACE≌△DCF，
∴CE=CF，∠ACE=∠DCF，
∴∠DCF+∠DCE=∠ACE+∠DCE，即∠ECF=∠ACD=60°，
∴△CEF是等邊三角形；

深入研究：
（1）AF+BG=AB，理由如下：
連結(jié)AC，易得∠BCA=60°．
∵EG∥CF，EG=CF，
∴四邊形CFEG是平行四邊形，
∴EF=GC，
∵△CEF是等邊三角形，
∴EF=CE=CF，
∴CE=CG=EG，
∴△CEG是等邊三角形，
∴∠GCE=60°，
∴∠GCE-∠BCE=∠BCA-∠BCE，即∠GCB=∠ECA，
∴△BCG≌△ACE（SAS），
∴BG=AE，
又AF=BE，
∴AF+BG=BE+AE，即AF+BG=AB；

（2）（1）中的結(jié)論不成立，新的結(jié)論為AF-BG=AB．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題，其中涉及到菱形的性質(zhì)，等邊三角形、全等三角形、平行四邊形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合及類(lèi)比思想是解題的關(guān)鍵．