Question

18．如圖，在x軸上有兩點(diǎn)A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0），分別過點(diǎn)A，點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線y=x²于點(diǎn)C，點(diǎn)D．直線OC交直線BD于點(diǎn)E，直線OD交直線AC于點(diǎn)F，點(diǎn)E，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)分別記作y_E，y_F
（1）特例探究
當(dāng)m=1，n=2時，y_E=2，y_F=2
當(dāng)m=3，n=5時，y_E=15，y_F=15
（2）歸納證明
對任意m，n（n＞m＞0），猜想y_E與y_F的大小關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）拓展應(yīng)用
若將拋物線y=x²改為拋物線y=ax²（a＞0），其它條件不變，請直接寫出y_E與y_F的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）已知A、B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式，能得到C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而能求出直線OC、OD的解析式，也就能得出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行比較即可．
（2）已知A、B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式，能得到C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而能求出直線OC、OD的解析式，也就能得出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行比較即可．
（3）已知A、B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式，能得到C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而能求出直線OC、OD的解析式，也就能得出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行比較即可．

解答 解：（1）特例探究：
當(dāng)m=1，n=2時，A（1，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（2，4）；
則：直線OC：y=x；直線OD：y=2x；
∴F（1，2）、E（2，2）；
即：y_E=y_F=2．
同理：當(dāng)m=3，n=5時，y_E=y_F=15．
故答案為2，2；15，15；
（2）歸納證明：
猜想：y_E=y_F；
證明：點(diǎn)A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．
由拋物線的解析式知：C（m，m²）、D（n，n²）；
設(shè)直線OC的解析式：y=kx，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)：
km=m²，k=m
即：直線OC：y=mx；
同理：直線OD：y=nx．
∴E（n，mn）、F（m，mn）
即y_E=y_F．
（3）拓展應(yīng)用：y_E=y_F．
證明：點(diǎn)A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．
由拋物線的解析式知：C（m，am²）、D（n，an²）；
設(shè)直線OC的解析式：y=kx，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)：
km=am²，k=am
即：直線OC：y=amx；
同理：直線OD：y=anx．
∴E（n，amn）、F（m，amn）
即y_E=y_F．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)圖象是點(diǎn)的坐標(biāo)特征，表示出E、F點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．