Question

7．已知拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c與x軸交于A、B，與y軸交于點C，連結(jié)AC、BC，D是線段OB上一動點，以CD為一邊向右側(cè)作正方形CDEF，連結(jié)BF．若C（0，4），B（4，0）且AO=BO．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：BF⊥AB；
（3）求∠FBE；
（4）當(dāng)D點沿x軸正方向移動到點B時，點E也隨著運動，則點E所走過的路線長是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）把C（0，4），B（4，0）的坐標代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c，把問題轉(zhuǎn)化為解方程組即可
（2）首先證明△ABC是等腰直角三角形，再證明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；
（3）先證明△ODC≌△DME（AAS），推出DM=OC=4，OD=EM，由OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，推出BM=EM，由∠EMB=90°，推出∠MBE=∠MEB=45°，由此即可解決問題．
（4）由（3）知，點E在射線BE上，當(dāng)點D與點B重合時，BE=BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）把C（0，4），B（4，0）的坐標代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-4+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+4；

（2）證明：由（1）得到拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+4；
令y=0，得x₁=4，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB=OC，
∴△ABC是等腰直角三角形；
如圖，又∵四邊形CDEF是正方形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB；

（3）如圖，連接BE，過點E作EM⊥x軸于點M．
∵∠ODC+∠EDM=90°，∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠CDO=∠DEM，
在△ODC和△MED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COD=∠EMD}\\{∠ODC=∠MED}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ODC≌△DME（AAS），
∴DM=OC=4，OD=EM，
∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，
∴BM=EM．
∵∠EMB=90°，
∴∠MBE=∠MEB=45°；
由（2）知，BF⊥AB，
∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，點E在射線BE上，當(dāng)點D與點B重合時，BE=BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∴當(dāng)D點沿x軸正方向移動到點B時，點E所走過的路線長是4$\sqrt{2}$，
故答案為4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，（4）中弄清點E的軌跡是線段是關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．