Question

8．如圖，已知點(diǎn)C（1，0），直線y=-x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，D、E分別是AB，OA上的動點(diǎn)，當(dāng)△CDE周長最小時，點(diǎn)D坐標(biāo)為（$\frac{25}{7}$，$\frac{24}{7}$）．

Answer 1

分析 點(diǎn)C關(guān)于OA的對稱點(diǎn)C′（-1，0），點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C″（7，6），連接C′C″與AO交于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)D，此時△DEC周長最小，可以根據(jù)待定系數(shù)法求得直線DE的解析式，然后聯(lián)立方程，求得交點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：如圖，點(diǎn)C關(guān)于OA的對稱點(diǎn)C′（-1，0），點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C″，
∵直線AB的解析式為y=-x+7，
∴直線CC″的解析式為y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+7}\\{y=x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴F（4，3），
∵F是CC″中點(diǎn)，
∴可得C″（7，6）．
連接C′C″與AO交于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)D，此時△DEC周長最小，
∵C′（-1，0），C″（7，6），
∴設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{7k+b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+7}\\{y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{7}}\\{y=\frac{24}{7}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（$\frac{25}{7}$，$\frac{24}{7}$），
故答案為（$\frac{25}{7}$，$\frac{24}{7}$）．

點(diǎn)評 本題考查軸對稱-最短問題、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及直線的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是利用對稱性在找到點(diǎn)D、點(diǎn)E位置，屬于中考�？碱}型．