Question

19．木匠黃師傅用長AB=3，寬BC=2的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計了四種方案：
方案一：直接鋸一個半徑最大的圓；
方案二：圓心O₁、O₂分別在CD、AB上，半徑分別是O₁C、O₂A，鋸兩個外切的半圓拼成一個圓；
方案三：沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形，適當平移三角形并鋸一個最大的圓；
方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個盡可能大的圓．
（1）寫出方案一中圓的半徑．
（2）通過計算說明方案二和方案三中，哪個圓的半徑較大？
（3）在方案四中，設(shè)CE=x（0＜x＜1），當x取何值時圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說明四種方案中哪一個圓形桌面的半徑最大．

Answer 1

分析 （1）直接利用CB的長即可得出圓的半徑長；
（2）分別利用勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)得出兩半徑長進而得出答案；
（3）首先得出所截出圓的直徑最大為（3-x）或（2+x）兩者之中較小的一個再利用一次函數(shù)增減性得出即可．

解答 解：（1）方案一中的最大半徑為1；

（2）設(shè)半徑為r，
方案二：如圖方案二，連接O₁O₂，O₁E，在Rt△O₁O₂E中，（2r）²=2²+（3-2r）²，
解得 r=$\frac{13}{12}$，
方案三：如圖方案三，連接ON，OM，
∵ON∥AM，
∴∠FON=∠A，
又∵∠ONF=∠AMO=90°，
∴△AOM∽△OFN，
∴$\frac{ON}{AM}$=$\frac{FN}{MO}$，
∴$\frac{r}{3-r}$=$\frac{2-r}{r}$，
解得：r=$\frac{6}{5}$，
∵$\frac{13}{12}$＜$\frac{6}{5}$，
∴方案三半徑較大；

（3）方案四所拼得的圖形水平方向跨度為3-x，豎直方向跨度為2+x．
所以所截出圓的直徑最大為（3-x）或（2+x）兩者之中較小的．
當3-x＜2+x時，即當x＞$\frac{1}{2}$時，r=$\frac{1}{2}$（3-x）；
此時r隨x的增大而減小，所以r＜$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$；
當3-x=2+x時，即當x=$\frac{1}{2}$時，r=$\frac{1}{2}$ （3-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$；
當3-x＞2+x時，即當x＜$\frac{1}{2}$時，r=$\frac{1}{2}$ （2+x）．
此時r隨x的增大而增大，所以r＜$\frac{1}{2}$ （2+$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$；
∴方案四，當x=$\frac{1}{2}$時，r最大為$\frac{5}{4}$，
∵1＜$\frac{13}{12}$$＜\frac{6}{5}$＜$\frac{5}{4}$，
∴方案四中所得到的圓形桌面的半徑最大．

點評 此題主要考查了圓的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和一次函數(shù)的增減性等知識，利用分類討論得出r的最值是解題關(guān)鍵．