Question

15．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過x軸上的兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）和y軸上的點C（0，8），⊙P的圓心P在y軸上，且經過B、C兩點，若b=2a，AB=6．
求：（1）拋物線的解析式；
（2）D在拋物線上，且C、D兩點關于拋物線的對稱軸對稱，問直線BD是否經過圓心P？并說明理由．
（3）設直線BD交⊙P于另一點E，求點E坐標．

Answer 1

分析 （1）把已知坐標C代入求得c=8，又b=2a，AB=6，ax²+2ax+8=0，|x₁-x₂|=6求得a的值，即求出拋物線的解析式；
（2）已知D點坐標，可求直線BD的解析式，連接BP，設⊙P的半徑為R，求出R，OP的值即可；
（3）過點E作EF⊥y軸于F，設E（m，2m-4）連接PE，根據勾股定理即可得到結論．

解答 解：（1）∵y軸上的點C（0，-8），
∴c=-8，
又∵b=2a，AB=6，令ax²+2ax-8=0，|x₁-x₂|=6，
解得：a=1，b=2；
∴拋物線的解析式是：y=x²+2x-8；

（2）∵拋物線的對稱軸是直線x=-1，
∵C、D兩點關于拋物線的對稱軸對稱，
∴D（-2，-8），
解x²+2x-8=0得，x₁=-4，x₂=2，
∵B（2，0），
∴直線B D為：y=2x-4，
連接BP，設⊙P的半徑為R，
R²=（ 8-R）²+2²，
∴R=$\frac{17}{4}$，P（0，-$\frac{15}{4}$），
∴點P的坐標不滿足直線BD的解析式y=2x-4，
∴直線BD不經過圓心P；

（3）過點E作EF⊥y軸于F，
設直線BD與y軸交于G，
∴G（0，-4），
設E（m，2m-4）
連接PE，
則PE=$\frac{17}{4}$，
∵PE²=EF²+PF²，
∴（$\frac{17}{4}$）²=m²+（-2m+4-$\frac{15}{4}$）²，
∴m=-$\frac{9}{5}$，
∴E（-$\frac{9}{5}$，-$\frac{38}{5}$）．

點評 此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，待定系數法求函數的解析式，勾股定理，靈活的利用數形結合正確得出函數圖象上的交點坐標是解題的關鍵．