Question

13．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點B，且OA、OB（OA＜OB）的長是方程x²-12x+32=0的兩個根．
（1）求sin∠ABO的值；
（2）已知點C是OB的中點，當(dāng)點P在射線BA上運動到S_△AOC=S_△AOP時，求經(jīng)過點P的反比例函數(shù)解析式；
（3）若點Q在線段AB上，平移直線OQ交x軸于點D，交y軸于點E．當(dāng)M（a，4）時，是否存在點N使得以點D、E、M、N為頂點的四邊形是正方形？若存在直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可求得方程的兩根分別為4和8，且OA＜OB，所以求得OA=4，OB=8，再根據(jù)勾股定理，求得AB的長，即可解答；
（2）先求出直線AB的解析式，再根據(jù)S_△AOC=S_△AOP時，求出點P的縱坐標(biāo)，把點P的縱坐標(biāo)代入直線AB的解析式求點P的橫坐標(biāo)，即可解答；
（3）畫出圖形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可解答．

解答 解：（1）x²-12x+32=0
解得：x₁=4，x₂=8，
∵OA＜OB，
∴OA=4，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}=4\sqrt{5}$，
∴sin∠ABO=$\frac{AO}{AB}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）如圖，連接AC，OP，過點P作PD⊥OA于點D，

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
把A（4，0），B（0，8）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-2x+8，
∵OB=8，點C是OB的中點，
∴OC=4，
當(dāng)點P在射線BA上運動到S_△AOC=S_△AOP時，
∴$OA•OC×\frac{1}{2}=OA•PD×\frac{1}{2}$
即$4×4×\frac{1}{2}=4•PD×\frac{1}{2}$，
∴PD=4，
∴設(shè)P（x，4），
把P（x，4）代入y=-2x+8得：-2x+8=4，
解得：x=2，
∴P（2，4），
設(shè)經(jīng)過點P的函數(shù)解析式為：$y=\frac{k}{x}$，
∴$4=\frac{k}{2}$，
∴k=8，
∴經(jīng)過點P的函數(shù)解析式為：$y=\frac{8}{x}$．
（3）存在；如圖，

①當(dāng)直線OQ向下平移時，DENM為正方形，
當(dāng)點M在y軸上時，此時點M的坐標(biāo)為（0，4），此時點M與點E關(guān)于x軸對稱，點D與點N關(guān)y軸對稱，
根據(jù)正方形的性質(zhì)，OM=OE=OD=ON=4，
所以N（-4，0）；
②當(dāng)直線OQ向上平移時，平移到與y軸的交點為（0，4），與x軸交點為（-4，0），DENM為正方形，
∴O（D）=4，O（E）=4，
∴根據(jù)中點的性質(zhì)，此時N的坐標(biāo)為（-4，8）
∴N（-4，0）或N（-4，8）．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．