Question

6．記拋物線y=-x²+2013的圖象與y軸正半軸的交點(diǎn)為A，將線段OA分成2013等份，設(shè)分點(diǎn)分別為P₁，P₂…P₂₀₁₂，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作y軸的垂線，分別與拋物線交于點(diǎn)Q₁，Q₂，…Q₂₀₁₂，再記直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂…的面積分別為S₁，S₂，…，這樣就記W=S${\;}_{1}^{2}$+S${\;}_{2}^{2}$+…+S${\;}_{2012}^{2}$，W的值為（　�。�

• A． $\frac{2013×2012}{4}$
• B． $\frac{2013×2012}{2}$
• C． $\frac{503×2013}{2}$
• D． $\frac{2012×2011}{4}$

Answer 1

分析 S₁、S₂、…、S₂₀₁₂中，所有三角形在y軸上的直角邊都是1，因此只需考慮它們的另一條直角邊即可；也可以看作，這些三角形面積的平方和等于所有Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方和，可先表示出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的平方，結(jié)合等差數(shù)列即可求出代數(shù)式的值．

解答 解：設(shè)點(diǎn)Q（$\sqrt{2013-y}$，y）；（0＜y＜2013）
那么 Q_n（$\sqrt{2013-n}$，n）．（1≤n≤2012）
S₁²=$\frac{1}{4}$（2013-1）=$\frac{1}{4}$×2012
S₂²=$\frac{1}{4}$（2013-2）=$\frac{1}{4}$×2011
S₃²=$\frac{1}{4}$（2013-3）=$\frac{1}{4}$×2010
…
S₂₀₁₂²=$\frac{1}{4}$（2013-2012）=$\frac{1}{4}$×1
∴S₁²+S₂²+S₃²+…+S₂₀₁₂²=$\frac{1}{4}$（2012+2011+2010+…+1）=$\frac{1}{4}$×$\frac{2012（2012+1）}{2}$=$\frac{503×2013}{2}$
故選C．

點(diǎn)評(píng) 此題的難度適中，把握住每個(gè)直角三角形一條直角邊都是1是解答題目的關(guān)鍵，此外，還需牢記等差數(shù)列的求和公式S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$．