Question

14．求代數(shù)式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{x^2}-12x+45}$的最小值．

Answer 1

分析 原問題轉(zhuǎn)化為：求x軸上一點(diǎn)到A（0，-2）以及B（6，3）兩點(diǎn)的和的最小值，顯然當(dāng)P為“x軸與線段AB交點(diǎn)”時(shí)，PA+PB=AB最短．顯然兩點(diǎn)間線段最短，

解答 解：如圖所示：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，0），
原式可化為$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（6-x）^{2}+（0-3）^{2}}$，
即$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$=AP，$\sqrt{（6-x）^{2}+（0-3）^{2}}$=BP，
AB=$\sqrt{{6}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{61}$．
代數(shù)式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{x^2}-12x+45}$的最小值為$\sqrt{61}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的最值問題、軸對(duì)稱--最短路線問題．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)代數(shù)式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{x^2}-12x+45}$，將問題轉(zhuǎn)化為：求x軸上一點(diǎn)到（0，-2）以及（6，3）兩點(diǎn)的和的最小值，并且利用了“兩點(diǎn)間線段最短”的知識(shí)點(diǎn)