Question

12．如圖，已知矩形ABCD，將紙片折疊，使頂點A與C重合，折痕EF分別于DC，AB交于E，F(xiàn)．
（1）求證：E，A，F(xiàn)，C四點圍成的四邊形為菱形；
（2）若菱形ABCD中，BC=4，AB=8，求折痕EF的長．

Answer 1

分析 （1）連接AE，AC交EF于O，由折疊的性質(zhì)得，AO=CO，EF⊥AC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=CE，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到AE=5，AC=4$\sqrt{5}$，求得AO=2$\sqrt{5}$，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=OF，于是得結(jié)論．

解答 解：（1）連接AE，AC交EF于O，
由折疊的性質(zhì)得，AO=CO，EF⊥AC，
∴AE=CE，AF=CF，
∵AB∥CD，
∴∠ECO=∠OAF，
在△AOF與△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OCE}\\{AO=OC}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∴AE=AF=CE=CF，
∴E，A，F(xiàn)，C四點圍成的四邊形為菱形；
（2）在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，即4²+（8-AE）²=AE²，
∴AE=5，
在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²，即8²+4²=AC²，
∴AC=4$\sqrt{5}$，
∴AO=2$\sqrt{5}$，
∵△AOF≌△COE，
∴DE=OF，
∴EF=2DE=2$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等；對應角相等．也考查了勾股定理、菱形的判定方法以及矩形的性質(zhì)．