Question

9．正方形OA₁B₁C₁、A₁A₂B₂C₂、A₂A₃B₃C₃┅按如圖放置，其中點(diǎn)A₁、A₂、A₃┅在x軸的正半軸上，點(diǎn)B₁、B₂、B₃┅在直線y=-x+2上，則點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（$\frac{7}{4}$，0），則點(diǎn)A_n的坐標(biāo)為（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，0）．

Answer 1

分析 先根據(jù)直線的解析式，分別求得B₁，B₂，B₃…的坐標(biāo)，再根據(jù)得到的規(guī)律，求得A₁，A₂，A₃…的坐標(biāo)，最后根據(jù)得到的規(guī)律，進(jìn)行求解．

解答 解：∵四邊形OA₁B₁C₁是正方形，
∴A₁B₁=B₁C₁．
∵點(diǎn)B₁在直線y=-x+2上，
∴設(shè)B₁的坐標(biāo)是（x，-x+2），
∴x=-x+2，x=1．
∴B₁的坐標(biāo)是（1，1）．
∴點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（1，0）．
∵A₁A₂B₂C₂是正方形，
∴B₂C₂=A₁C₂，
∵點(diǎn)B₂在直線y=-x+2上，
∴B₂C₂=B₁C₂，
∴B₂C₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{2}$，
∴OA₂=OA₁+A₁A₂=1+$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（1+$\frac{1}{2}$，0）．
同理，可得到點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$，0），即A₃的坐標(biāo)為（$\frac{7}{4}$，0）．
依此類推，可得到點(diǎn)A_n的坐標(biāo)為（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，0），
而1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，
故A_n的坐標(biāo)為（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，0）．
故答案是：（$\frac{7}{4}$，0），（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，0）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，需要根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和坐標(biāo)的變化規(guī)律進(jìn)行判斷分析，正確得到點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律是關(guān)鍵．解題時(shí)注意，正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角．